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烧脑的阿罗不可能定理

不世出的天才
今天我们介绍阿罗不可能定理。阿罗于1972年获得了诺贝尔经济学奖。诺贝尔经济学奖得主的水平并非整齐划一,用统计学的术语讲,方差是很大的,有的很牛,有的很水。这就好比班上得了100分的孩子,其实水平不是一样的。有的孩子是拼命读书,而且运气好才考了100分,有的孩子是智力超常,学校教的对他来说是小菜一碟,这个100分根本测试不出他的真实水平,但没有比100分更高的分数了。阿罗就好比后一种学生。他是大师中的大师,不世出的天才。
阿罗不可能定理的高明在于他用严格的数学推导论证了一个石破天惊的观点。今天我试着不用数学,只用通俗的逻辑,介绍一下什么是阿罗不可能定理。研究集体选择的学者很可能会觉得这是于丹讲孔子,既不入门径,又暴殄天物。我给自己定的目标是,只要能激发大家对阿罗不可能定理的兴趣就行了。高深的学问,大家继续自己修行。
从个人理性能否加总出集体理性?
 
我们说民主制度好,是因为每个人都能理性地做出判断,而且规则是公正透明的。既然每个人都理性,那么每个人的意见加总起来,不也应该是理性的吗?
 
让我们再讲得清楚一些。什么叫每个人都是理性的?你的观点要前后一致吧,不能不符合逻辑吧。在数学上,如果A>B,B>C,那么A>C,这没错吧?不辣、微辣、变态辣,放在一起,由你来选,如果你认为不辣比微辣好,微辣比变态辣好,那么你一定会认为不辣比变态辣好,这叫可传递性。
 
什么是所谓的集体选择规则?首先,如果大家来投票,按照事先规定好的规则,大家认为A比B好,那么,就要选A而不是B。这在经济学术语上叫“帕累托法则”,这是由意大利学者帕累托最早严格定义的。其次,你不能限制某些观点和偏好,比如,你不能规定所有的人都要喜欢清淡的口味,有人就是口味重,最喜欢变态辣,不行吗?这在经济学上被称为“无限制定义域”(unrestricted domain),也就是说不许对公民的偏好进行人为限制。再次,当你在对两个选项做出选择的时候,你要就事论事,就这两个选项表达自己的看法,不能因为其它选项就干扰了自己的意见。这叫“无关备选项的独立性”(independence of
irrelevant alternatives)。最后,我们要有个限制条件,即不能有独裁者。这是说,所有集体选择的结果应该是由每个人自己投票投出来的,不能有人跟大家不一样,搞特殊,能帮别人做决定。
 
什么是阿罗不可能定理?阿罗证明了,当一个社会中的个体数目确定,面临的是不少于三种方案的选择时,不可能同时满足帕累托法则、无限制定义域和无关备选项的独立性以及非独裁这四个条件。
 
等一等,阿罗到底是怎么证明的?接下来我简要介绍一下推导思路。
 
推导阿罗不可能定理的关键在于,把社会个体的集合设为G,要证明G具有“可决定性”(decisiveness)且不违反上述四个条件,也就是说,这个社会个体的集合说了算。这个G从理论上讲是可以只有一个人的,如果有这么一个只有一个人组成的具有“可决定性”的G,就违反了非独裁者条件。
 
假定有特定一组备选组{x,y},也就是说,要从x和y中间做出选择。如果集合G中的所有个人都偏好x胜于y,则x较y一定是社会最优的。如果对任意备选组都局部成立,则这个社会个体的集合G具有全局“可决定性”。这是比较容易证明的,但这只是第一步。
 
证明的第二步是:如果社会个体的集合G具有可决定性(且其中个人数目大于1),则G的某些部分(“真子集”)也具有可决定性。这一步的证明是把G分拆为两个子集G1和G2,并证明G1和G2二者其一必具有“全局”可决定性。要是你能够证明了这一步,那么好了,你可以继续拆分下去,直到G的某个子集中只包含一个个体,于是,G的这个子集同样具有“全局”可决定性,而这和非独裁者条件是违背的。
 
这样研究民主制度有什么意义呢?在阿罗出现之前,讨论民主的学者是“见山是山,见水是水”,而在阿罗出现之后,一切都要重估,研究民主问题进入了“见山不是山,见水不是水”的境界。阿罗把一个公说公有理、婆说婆有理的问题变成了一个可以用数理逻辑一环扣一环分析的问题。其实,阿罗最初的数学证明也有错误,后来才有更年轻的学者指出来,但他提出的这个分析框架开创了一个崭新的领域。
 
股东也要投票
 
其实,阿罗最初感兴趣的不是民主投票制度。他之所以关注投票问题,是研究厂商理论的副产品。厂商理论是经济学教科书里面必教的。经济学教科书告诉我们,厂商的目标是利润最大化。那么多老师教厂商理论,那么多学生学厂商理论,对此都深信不疑。只有阿罗考虑到,厂商并不是一个人啊,股东可能有好几个啊。即使每位股东都想让利润最大化,但不同的股东对选择何种生产计划,也会有不同的看法:有的会主张扩大产量、有的会主张压缩成本、有的会要求增加研发投入,怎么办?厂商在生产决策的时候也会用到投票,但怎么投票呢?阿罗一头钻进去,越想越觉得有意思,最后就捣鼓出来了这个不可能定理。
 
阿罗数学功底深厚,但读书不多。他发表了不可能定理之后,才有读者告诉他,很多年之前,法国思想家孔多塞就研究过类似的问题。有些人不理解阿罗不可能定理,就想当然地说,阿罗证明了民主制度是不可行的。说这种话,不是智商低就是别有用心。听完我的介绍,你们会明白,所谓的不可能定理,是说在满足严格的一系列前提下,不可能通过集体投票推导出理性的决策。他说的独裁者,不是我们通常意义上的独裁者。
 
阿罗不可能定理给我们插了一个路标:此路不通。如果此路不通,是不是就没有别的路可走了?当然不是,我们可以绕着走。如果把阿罗所提的那些苛刻的前提条件放松,就不会出现不可能的结局。后来获得诺贝尔经济学奖的森(印度裔经济学家)和马斯金,都是沿着这个思路,要么放松阿罗的前提条件,要么限制一些比较冷僻的排序,最后避免了不可能的结局。
 



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