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在什么情况下中间派会胜出？
我已经跟大家介绍了一种最简单的集体选择理论，即空间投票理论。按照空间投票理论，结局很简单，谁站在中间，谁就占尽上风。照这样看，坚持信仰的人不如随风偃仰的人过得自在，但通过投票，总是能够做出集体决策的。今天我要告诉大家，这是不一定的。在有些情况下，投票是无法达成集体选择的，推而广之，民主制度有可能会失效。我们不讲人性阴暗、政治权谋。我们假设大家都是按照自己的真实想法，堂堂正正去投票，即使如此，投票制度也有可能陷入悖论。
还是用昨天讲的原始部落案例来分析。为什么昨天我们讲，投票能投出结果，中间派能最终胜出呢？
我们其实是这样推理的。假设这个部落分成了三派：北上派、恋家派和南下派。我们假设有三种选择：北上、不动和南下。对于北上派来说，最优的选择是北上，其次是不动，最差是南下。对于南下派来说，最优的选择是南下，其次的选择是不动，最差的选择是北上。对于恋家派来说，最优的选择是不动，北上和南下都是次优的选择。如果要在北上和不动两种选择之间选择，北上派选择北上，但不动派和南下派都会选择不动，因为在南下派看来，不动也比北上要好，支持不动的选票和支持北上的选票是2:1，不动的方案胜出。同理，如果要在南下和不动两种方案之间选择，不动的方案也会胜出。如果在北上和南下之间选择，北上和南下都无法胜出，投票作废。
“单峰偏好”和“双峰偏好”
在这个推理里，大家可能没有察觉的是，我们假设北上派、恋家派和南下派的偏好都是“单峰的”。什么意思？请拿出一张纸，一支笔，画一画。画一个坐标系。横轴从左到右，是各种选择方案：北上、不动和南下。纵轴表示每个投票者的偏好程度，比如对于北上派来说，他们给北上这个选项打3分，强烈支持，给不动这个选项打2分，勉强同意，给南下这个选项打1分，甚至给零分、负分。那么，北上派和南下派的偏好连起来都是一条直线，恋家派呢？他们给不动的方案打3分，给其它两个方案都打1分，他们的偏好连起来，是一个中间高、两边低的“山峰”。
那好了，现在，我们假设在北上派和南下派之外，第三派是离家派。这一派对原来的家乡极其厌恶，对于他们来说，北上或南下都行，只要不留在原来的地方就好。他们给不动的方案打0分，给北上和南下的方案都打3分。如果你把他们的偏好连起来，是个中间低、两边高的“山谷”。公共选择理论把他们的偏好称为“双峰”。
要是有一派的偏好是“双峰”，麻烦就大了。回到原始人部落搬家的案例。如果先在北上和不动两个方案之间选择，北上派和离家派都选择北上。如果在南下和不动两个方案之间选择，南下派和离家派都选择南下。但这两个结果是互相矛盾的啊？这下子，投票制度陷入了一个怪圈。
孔多塞悖论
一个民主制度，不能因为某一派人的政治偏好不是“单峰”，就让人家闭嘴吧。但是假如偏好不是“单峰”，就无法找到一个均衡点。这就产生了一个悖论。在公共选择理论里，有很多这样的悖论。两百多年前，在法国大革命的时候，就有个叫孔多塞的法国思想家提出了 “ 孔多塞悖论 ” 。
孔多塞悖论是这样讲的：假设有一个人，要面对A、B、C三种选择方案。假设他认为A比B要好，而B比C要好。即使我们没有直接问他更喜欢A还是C，但是，显而易见，他更喜欢A。这叫偏好的传递性（transitivity）。我们再假设不是一个人了，现在有三个人：甲、乙、丙，同样还是A、B、C三种选择方案。假设三人的偏好顺序如下：甲的偏好顺序是：A>B>C；乙的偏好顺序是：B>C>A；丙的偏好顺序是：C>A>B。
好，现在开始投票。如果在A和B之间投票，甲和丙都投A。按照少数服从多数的原则，由甲乙丙三个人组成的这个“社会”应该认为A优于B。如果在B和C之间投票，甲和乙都投B，按照少数服从多数的原则，“社会”应该认为B 优于C。既然A优于B，B优于C，那么在A和C之间就不用选了，肯定是A优于C，不是吗？不是的。在A和C两者之间选择的时候，乙和丙都选C，也就是说，“社会”认为C优于A。
问题出在哪里？其实还是因为偏好的“单峰性”。甲乙的偏好都符合“单峰性”，但丙的偏好并非如此。所以，公共选择理论的一个基本结论是： 从个体理性无法推导出集体理性，即使每个个体的偏好都是 “ 可传递的 ” ，社会的偏好却不是 “ 可传递的 ” ，也就是说，社会的偏好是不符合逻辑的。
肯定会有人讲，你看看，我早就说过了吧，哪里有什么民主制度，民主制度都是有缺陷的，是虚假的，是骗人的。公共选择理论告诉我们，民主制度确实是有缺陷的，但民主制度什么时候声称过自己是一种完美的制度？丘吉尔说过，民主制度不是最好的制度，它只是一种最不坏的制度。有些支持民主制度的人会把它神圣化，他们认为，只要是投票投出来的结果，就肯定代表了民意，而民意是不可能错的。公共选择理论告诉我们，哪里有这么容易的事情。投票无非就是投票而已。民主作为一种信念，是不能轻易动摇的，但作为一种制度，是存在各种各样的缺陷的。
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